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【等距螺旋的七个实验】实验五:螺旋公式的一些讨论

刘崇军 2019-02-24 18:02:00 阅读数:201 评论数:0 点赞数:0 收藏数:0

若将螺旋看做是直线运动与圆周运动的叠加,每个旋转周期,直线上移动相同的距离,这样得到的螺旋曲线可以统称为等距螺旋

【等距螺旋的公式】

等距螺旋公式是从风螺旋公式引用而来,它根据直线运动速度w,圆周运动速度v,以及直线与圆周的位置关系DA(sinDA= D/r)来表示。

【等距螺旋的互补特性】

由于旋转的方向会对螺旋的形态造成影响,对于任一条螺旋,都可以找到一条与它的旋转方向相反、位置互补的螺旋。

图1 互补的两条螺旋

【等距螺旋的外扩效率比较】

等距螺旋公式是从风螺旋公式引用而来,风螺旋仅使用基圆以外的部分,因此,角度的零点对应的是直线与圆周的交点,即当角为零时,ρ=r。

ICAO规范中,风螺旋是w<v条件下外扩效率最高的螺旋,下面通过实验的方法进行验证。

首先按照风螺旋的角度关系DA=arcSin(w/v),按照公式二绘图,风螺旋的互补螺旋按照公式三加上Pi来绘制,二者在不进行角度修正的情况下,可以得到下面的图形:

图2 第一组螺旋

图中逆时针角度增大,水平向右为x轴的零度轴。有两条螺旋穿过基圆的零度角位置,它们分别是蓝色的风螺旋、橘色的风螺旋的互补螺旋。在角度增大的正向区间内(图中逆时针方向角度增大),风螺旋的外扩效率是大于它的互补螺旋的。

图中还可以看到,基圆内螺旋的变化形式更加的丰富。由于等距螺旋公式在角度小于零的区间里存在突变点,上图中分用用红色绘制了风螺旋在突变点之后的部分,用品红色绘制了互补螺旋在突变点之后的部分。突变点对应的角度为-v/(w*CosDA),仍然是基于速度比得到的一个数字。

[关于速度比的补充内容]

等距螺旋中的速度比在计算中多次出现,未来如果将速度比简化为一个单一参数,对于理解将会造成较大的困难。

[关于突变点的补充内容]

渐开线中的DA角为90度,突变点的计算不适用于渐开线。实际上,当DA角开始接近90时,突变点会渐渐远离圆心。在渐开线条件下,突变点位于1/0(1除以零)的位置,也可以说,渐开线中不存在突变点。

[实验继续。。。。]

采用相的方法,将阿基米德螺旋(DA=0)与它的互补螺旋按照零点处重合,会得到下面的图形:

图3 第二组螺旋

由于阿基米德螺旋与它的互补螺旋形状完全相同,角度相差180度,因此,上图中采用将其中一条螺旋用黄色虚线来表示,另一条螺旋用蓝色实线来表示,叠加之后,显示为黄、蓝相间的螺旋。

在速度比(w/v)相同的条件下,将风螺旋、阿基米德螺旋,以及风螺旋的互补螺旋叠加起来看,从圆周向外,外扩效率较小的是互补螺旋、然后是阿基米德螺旋,风螺旋的外扩效率最大。

图4 两组螺旋的叠加

改变DA角的大小,从-90°到90°,可以看到,DA=arcSin(w/v)时的蓝色风螺旋始终位于第一象限的最外侧,即外扩效率最大。

【逆向螺旋的简便实现】

等距螺旋穿越基圆之后,形态上表现为从收缩阶段进入到外扩阶段,螺旋从顺时针外扩向逆时针外扩转变,或者相反。顺、逆时针的螺旋是一体两面的,如果用数学表达式来看是-与+的关系。这种计算关系下,对于逆向螺旋的计算是不方便的,并且有出现突变点的可能。

穿越基圆的螺旋线

通过观察可以发现,“完整”的螺旋是可以看做轴对称图形的,上图中过圆心的竖线就是一条对称轴。从对称轴向外量取α或-α可以分别得到外扩方向相反的螺旋。

在计算时,以零度轴为对称轴,若α表示逆时针外扩的螺旋,则-α即表示顺时针外扩的螺旋(基圆以内的部分,除非必需,尽量不要纳入到计算中去)。

图6 两条相逆的风螺旋

【等距螺旋公式的其它可能】

现有的等距螺旋公式是从风螺旋计算而来,也是主用于风螺旋计算的,它的起点是圆周与直线的交点。

常见的螺旋计算通过都是从圆心或近地点(渐开线与圆周相切的一点)开始做为角度的起点。通过等距螺旋的分析可以知道,直线运动不过圆心同样可以形成螺旋。那么如果按照近地点来建立公式,对于等距螺旋来说,只是初始值发生了改变,突变点的情况仍将存在。

在实验四中已经提到,从圆周运动到圆心,共需要经历的旋转角度为v*cosDA/w(弧度单位),这个角度与突变点角度的表达式-v/(w*CosDA)非常像,但它们是完全不同的内容。

数学就是这么奇妙,v、w、cosDA三个数来回变换,总在反复出现,却又不同。如果w,v尚可以用速度比来简化w/v,DA是无论如何也简化不掉的,除非引入直线与圆心的距离D,再用D/r=sinDA来得到DA角。

国外公司将DA称为Delay Angle(滞后角),领航学将DA称为Drift Angle(偏流角),等距螺旋里把它叫D-Angle(D角)好了,表示直角边D所对应的角度。

直接从近地点建立角度计算关系时,起点用-v*cosDA/w来表示,经过角度修正后效果如下:

图7 从近地点开始绘制的风螺旋

图上的数字Out[1833]表示该图是第1833次的计算结果,通过现代化的软件,实验的效率真得可以很高。今天的代码写的也有点长,第五次实验到此结束,谢谢大家!

附上Mathematic软件中的实验代码,仅供参考。

初始设定部分:

前两组螺旋的显示代码

第五组的角度修正比较复杂,一并附上,其它的不再重复。

等距螺旋是螺旋概念上的一次升级,最大的困难不是数学上的限制,而是我们对于自身想像力的突破。主席曾说过,星星之火可以燎原,期待等距螺旋成为改变螺旋认知的那一点星星之火,照亮未来漫漫的星际之路。

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本文为[刘崇军]所创,转载请带上原文链接,感谢
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