Error message here!

Hide Error message here!

忘记密码?

Error message here!

请输入正确邮箱

Hide Error message here!

密码丢失?请输入您的电子邮件地址。您将收到一个重设密码链接。

Error message here!

返回登录

Close

[总结] wqs二分学习笔记

YoungNeal 2019-02-15 08:56:00 阅读数:287 评论数:0 点赞数:0 收藏数:0

论文

提出问题

在某些题目中,强制规定只能选 \(k\) 个物品,选多少个和怎么选都会影响收益,问最优答案。

算法思想

对于上述描述的题目,大部分都可以通过枚举选择物品的个数做到 \(O(nk^2)\)\(O(nk)\)\(\mathrm{DP}\),如果没有选择个数的限制的话,复杂度大概会降为 \(O(n)\) 级别。

先不考虑数量限制。

假设要最小化权值。

还是拿题说吧:给定长度为 \(n\) 的正整数序列,要求将该序列划分为 \(k\) 段,记每段之和为 \(sum(i)\),求最小的 \(\sum\limits_{i=1}^k sum(i)^2\)

如果没有段数限制,那我们肯定是每个数分成一段对吧。

如果加上段数限制呢?

先放上结论:打表可得如果以段数 \(k\) 为横坐标,以该段数求得的最小和 \(f(k)\) 为纵坐标,把这 \(n\) 个点放在平面直角坐标系上,那么形成的图形会是一个上凸包。也就是相邻两点的斜率单调不增。

那就可以考虑\(\mathrm{wqs}\)二分了。

注意当前的问题是:我们知道这个图形是一个上凸包,但是并不知道具体的 \((x,f(x))\) 坐标。

我们可以二分一个权值 \(mid\),这个 \(mid\) 表示,我们要拿一条直线去切当前这个凸包,这个直线的斜率为 \(mid\)。因为是上凸包,那这条直线肯定会在交某个点 \((x,f(x))\) 时截距取到最小值。设当前截距为 \(g(mid)\)

直线可以表示成 \(y=kx+b\),所以 \(f(x)=mid\cdot x+g(mid)\)

移项,\(g(mid)=f(x)-mid\cdot x\)

观察上面的等式,如果当前横坐标为 \(x\) 的话,\(g(mid)\) 恰好是 \(f(x)\) 减去 \(x\)\(mid\)

\(f(x)\) 不好求,那我求出来 \(g(mid)\),再顺便求出来 \(x\) 不就行了吗。

也就是说,如果能求出截距 \(g(mid)\),并且知道当前切到点的横坐标 \(x\),那就可以求得 \(f(x)\),并且可以根据 \(x\) 和题目中的 \(k\) 来调整 \(mid\) 了。

回到题目,我们假设当前没有分 \(k\) 段这个限制,但是多了一个条件,每分一段都需要将代价额外加上 \(mid\)

在这个条件下,我们做一遍没有取物品限制的\(\mathrm{DP}\),得出当前的最优解 \(a\) 和取最优解时候分出的段数 \(b\),那就有 \(g(mid)=a,x=b\)

这样就能求出来 \(f(x)\) 了。

但是关键不在 \(f(x)\),而在这个 \(x\)。如果使用的这个 \(x\) 大于题目中的 \(k\),那就得增大这个 \(mid\),感性理解一下,代价增多了分的段数才会少,反之就要减少 \(mid\)

这样通过二分就可以找到一条恰好切于 \((k,f(k))\) 这个点的直线,进而就知道答案 \(f(k)\) 了。

还有一个问题没有解决,如果我们二分不出来这个具体的 \(k\) 怎么办,也就是说,凸包上出现三点共线的情况怎么办。

如果这样,我们就再额外添加一个规则,比如说在满足 \(g(mid)\) 为最大权值的情况下使得 \(x\) 最小。这样就知道直线的最左端点 \(t\) 了。又因为斜率和截距是相同的,所以即使 \(t!=k\) 拿截距 \(g(t)-k\cdot mid\) 也还是最终的答案。

例题

[国家集训队2] Tree I

Description

给你一个无向带权连通图,每条边是黑色或白色。让你求一棵最小权的恰好有 \(k\) 条白色边的生成树。题目保证有解。

Sol

这就是\(\text{wqs}\)二分裸题了。二分一个 \(mid\),然后把所有白边的边权加上 \(mid\),然后求一下当前的花费和用了几条白色边,然后动态调整即可。

这里有一个细节就是会出现白边和黑边边权相等的情况,这时候就要用到上边的做法,强制规定一个规则。假设我们规定相等时先用白边,那二分就这么写:

while(l<=r){
int mid=l+r>>1;check(mid);
if(used>=k) ans=mid,l=mid+1;
else r=mid-1;
}

关键在于是 \(used>k\) 时记录 \(mid\) 还是在 \(used<k\) 时记录。

因为我们令 \(x\) 尽可能大,所以要在 \(used>=k\) 时记录 \(mid\)

代码

[Luogu4983] 忘情

Description

定义一段序列的值为 \(\frac{\left((\sum\limits_{i=1}^n x_i\times \bar x)+\bar x\right)}{\bar x^2}\) ,其中 \(n\) 为该序列长度。

给定长度为 \(n\) 的序列,要求分为 \(m\) 段,使得每一段的值的和最小。

Sol

把这个式子拿出来推一推,发现这就是个斜率优化的式子了。

然后就套路二分 \(mid\)\(\text{check}\)的时候用斜率优化 \(O(n)\) 求就行了。

md这题wa了好几次竟因\(\mathrm{define}\)没加括号身败名裂

代码

[CF739E] Gosha is hunting

Description

\(a\) 个宝贝球和 \(b\) 个大师球。对于每个神奇宝贝,用宝贝球抓到的概率为 \(p_i\),用大师球抓到的概率为 \(q_i\) (咦不是100%吗) 。不能对一个神奇宝贝用多个相同种类的球,但是可以既用宝贝球又用大师球。问最优方案下期望抓到的神奇宝贝数量。

Sol

这题...因为有两个限制,所以要\(\text{wqs}\)\(\text{wqs}\)

每次二分出 \(mid1,mid2\),表示每使用一个宝贝球就要支付 \(mid1\) 的代价,每使用一个大师球就要支付 \(mid2\) 的代价,然后正常做\(\text{dp}\),记录三个状态:最优方案期望抓多少,最优方案下用多少宝贝球,最优方案下用多少大师球。然后转移取最大值就好了。

一个小细节就是,如果同时用宝贝球和大师球,那期望不仅仅是 \(p_i+q_i\),而应该是 \(p_i+q_i-p_iq_i\)。这个推一推式子就知道了。

代码

[HEOI2018] 林克卡特树

Description

给定一棵 \(n\) 个节点带边权的树,求 \(k+1\) 条点不相交的链使得边权和最大。\(k<n\leq 3\cdot 10^5\)

Sol

首先有个 \(60\) 分做法,就是暴力树形\(\text{DP}\)

通常设状态都是 \(f[i][j]\) 表示点 \(i\) 为根的子树,选了 \(j\) 条链的最大边权和。但是我们发现这并不能转移。观察到最终由选出来的链构成的图上,每个点的度数只有 \(0/1/2\) 三种,因此不妨将状态变为 \(f[i][j][0/1/2]\) 表示点 \(i\) 为根的子树,选了 \(j\) 条链,现在点 \(i\) 的度数为 \(0/1/2\) 的最大边权和。这样就可以转移了。

假设当前点为 \(x\),刚\(\text{DP}\)\(x\) 的一个孩子 \(y\),现在要进行背包合并。

转移根据取不取 \((x,y)\) 这条边分为两种情况讨论。

不取

\(now=\max(f[y][k-i][0],f[y][k-i][1],f[y][k-i][2])\),让 \(x\) 的每个状态和 \(now\) 取个\(\max\)就好了。

\(d\)\((x,y)\) 的边权。

这个分开看比较好:

\(f[x][k][1]=\max(f[x][k][1],f[x][i][0]+f[y][k-i][1]+d,f[x][i-1][0]+f[y][k-i][0]+d)\)

后边两项分别表示,从子树 \(y\) 中伸上来一条链然后连接上 \(x\),或新建一条链,让 \((x,y)\) 单独作为一条链的两个端点。

\(f[x][k][2]=\max(f[x][k][2],f[x][i+1][1]+f[y][k-i][1]+d,f[x][i][1]+f[y][k-i][0]+d)\)

后边两项分别表示,让 \(x\) 作为一条链中间的某个点,即将从 \(x\) 其他子树伸上来的一条链和 \(y\) 伸上来的一条链接在一起,或将 \(y\) 直接与 \(x\) 从其他子树伸上来的一条链合并。

初值就是 \(f[x][0][0]=f[x][1][1]=f[x][1][2]=0\),其他都为 \(-\infty\)

后边两项表示,让点 \(x\) 作为一条向上延伸的链的最下方的端点,和让 \(x\) 单独成为一条链。

这样就可以通过 \(O(nk^2)\)\(\text{DP}\)拿到\(60\)分了。

60分代码

正解就是在此基础上进行\(\text{wqs}\)二分。

二分一个权值 \(mid\),表示每选一条链就要付出 \(mid\) 的代价。

然后进行没有选出链数限制的树形\(\text{DP}\)。每个状态 \(f[i][0/1/2]\) 记录两个值,选出的最大边权和与在此基础上最多的链数。

然后二分就好了。

这里也有在凸包上三点共线的问题,解决方案就是,因为我们最大化了选出的链数,所以在二分过程中,选出的链数如果 \(>=k\) ,那就得记录当前的 \(mid\) 了。

代码

版权声明
本文为[YoungNeal]所创,转载请带上原文链接,感谢
https://www.cnblogs.com/YoungNeal/p/10381611.html

编程之旅,人生之路,不止于编程,还有诗和远方。
阅代码原理,看框架知识,学企业实践;
赏诗词,读日记,踏人生之路,观世界之行;