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Python数模笔记-Sklearn(4)线性回归

youcans 2021-05-13 14:51:45 阅读数:24 评论数:0 点赞数:0 收藏数:0

1、什么是线性回归?

回归分析(Regression analysis)是一种统计分析方法,研究自变量和因变量之间的定量关系。回归分析不仅包括建立数学模型并估计模型参数,检验数学模型的可信度,也包括利用建立的模型和估计的模型参数进行预测或控制。按照输入输出变量关系的类型,回归分析可以分为线性回归和非线性回归。

线性回归(Linear regression) 假设样本数据集中的输出变量(y)与输入变量(X)存在线性关系,即输出变量是输入变量的线性组合。线性模型是最简单的模型,也是非常重要和应用广泛的模型。

如果模型只有一个输入变量和一个输出变量,称为一元线性模型,可以用一条直线来描述输出与输入的关系,其表达式是一元一次方程:

y = w0 + w1*x1 + e

如果模型包括两个或多个输入变量,则称为多元线性模型,可以用一个平面或超平面来描述输出与输入的关系,其表达式是多元一次方程:

Y = w0 + w1*x1 + w2*x2+...+ wm*xm + e

采用最小二乘法(Least square method)可以通过样本数据来估计回归模型的参数,使模型的输出与样本数据之间的误差平方和最小。

回归分析还要进一步分析究竟能不能采用线性回归模型,或者说线性关系的假设是否合理、线性模型是否具有良好的稳定性?这就需要使用统计分析进行显著性检验,检验输入与输出变量之间的线性关系是否显著,用线性模型来描述它们之间的关系是否恰当。


2、SKlearn 中的线性回归方法(sklearn.linear_model)

以机器学习的角度来看,回归是广泛应用的预测建模方法,线性回归是机器学习中重要的基础算法。SKlearn 机器学习工具包提供了丰富的线性模型学习方法,最重要和应用最广泛的无疑是普通最小二乘法(Ordinary least squares,OLS),此外多项式回归(Polynomial regression)、逻辑回归(Logistic Regression)和岭回归(Ridge regression)也较为常用,将在本文及后续文中介绍。其它方法相对比较特殊,以下根据官网介绍给出简要说明,普通读者可以略过。

  1. 普通最小二乘法(Ordinary least squares):
    以模型预测值与样本观测值的残差平方和最小作为优化目标。
  2. 岭回归(Ridge regression)
    在普通最小二乘法的基础上增加惩罚因子以减少共线性的影响,以带惩罚项(L2正则化)的残差平方和最小作为优化目标。在指标中同时考虑了较好的学习能力以及较小的惯性能量,以避免过拟合而导致模型泛化能力差。
  3. Lasso 回归(Least absolute shrinkage and selection operator)
    在普通最小二乘法的基础上增加绝对值偏差作为惩罚项(L1正则化)以减少共线性的影响,在拟合广义线性模型的同时进行变量筛选和复杂度调整,适用于稀疏系数模型。
  4. 多元 Lasso 回归(Multi-task Lasso)
    用于估计多元回归稀疏系数的线性模型。注意不是指多线程或多任务,而是指对多个输出变量筛选出相同的特征变量(也即回归系数整列为 0,因此该列对应的输入变量可以被删除)。
  5. 弹性网络回归(Elastic-Net)
    引入L1和L2范数正则化而构成带有两种惩罚项的模型,相当于岭回归和 Lasso 回归的组合。
  6. Multi-task Elastic-Net
    用于估计多元回归稀疏系数线性模型的弹性网络回归方法。
  7. 最小角回归算法(Least Angle Regression)
    结合前向梯度算法和前向选择算法,在保留前向梯度算法的精确性的同时简化迭代过程。每次选择都加入一个与相关度最高的自变量,最多 m步就可以完成求解。特别适合于特征维度远高于样本数的情况。
  8. LARS Lasso
    使用最小角回归算法求解 Lasso模型。
  9. 正交匹配追踪法(Orthogonal Matching Pursuit)
    用于具有非零系数变量数约束的近似线性模型。在分解的每一步进行正交化处理,选择删除与当前残差最大相关的列,反复迭代达到所需的稀疏程度。
  10. 贝叶斯回归(Bayesian Regression)
    用贝叶斯推断方法求解的线性回归模型,具有贝叶斯统计模型的基本性质,可以求解权重系数的概率密度函数。可以被用于观测数据较少但要求提供后验分布的问题,例如对物理常数的精确估计;也可以用于变量筛选和降维。
  11. 逻辑回归(Logistic Regression)
    逻辑回归是一种广义线性模型,研究顺序变量或属性变量作为输出的问题,实际是一种分类方法。通过线性模型加Sigmoid映射函数,将线性模型连续型输出变换为离散值。常用于估计某种事物的可能性,如寻找危险因素、预测发病概率、判断患病概率,是流行病学和医学中最常用的分析方法。
  12. 广义线性回归(Generalized Linear Regression)
    广义线性回归是线性回归模型的推广,实际上是非线性模型。通过单调可微的联结函数,建立输出变量与输入变量的线性关系,将问题简洁直接地转化为线性模型来处理。
  13. 随机梯度下降(Stochastic Gradient Descent)
    梯度下降是一种基于搜索的最优化方法,用梯度下降法来求损失函数最小时的参数估计值,适用样本数(和特征数)非常非常大的情况。随机梯度下降法在计算下降方向时,随机选一个数据进行计算,而不是扫描全部训练数据集,加快了迭代速度。
  14. 感知机(Perceptron)
    感知机是一种适合大规模学习的简单分类算法。训练速度比SGD稍快,并且产生的模型更稀疏。
  15. 被动攻击算法(Passive Aggressive Algorithms)
    被动攻击算法是一类用于大规模学习的算法。
  16. 鲁棒性回归(Robustness regression)
    鲁棒性回归的目的是在存在损坏数据的情况下拟合回归模型,如存在异常值或错误的情况。
  17. 多项式回归(Polynomial regression)
    多项式回归通过构造特征变量的多项式来扩展简单的线性回归模型。例如将特征变量组合成二阶多项式,可以将抛物面拟合到数据中,从而具有更广泛的灵活性和适应性。

3、SKlearn 中的最小二乘线性回归方法

3.1 最小二乘线性回归类(LinearRegression )

SKlearn 包中的 LinearRegression() 方法,不宜从字面理解为线性回归方法, LinearRegression() 仅指基于普通最小二乘法(OLS)的线性回归方法。

sklearn.linear_model.LinearRegression 类是 OLS 线性回归算法的具体实现,官网介绍详见:https://scikit-learn.org/stable/modules/generated/sklearn.linear_model.LinearRegression.html#sklearn.linear_model.LinearRegression

sklearn.linear_model.LinearRegression()

class sklearn.linear_model.LinearRegression(*, fit_intercept=True, normalize=False, copy_X=True, n_jobs=None, positive=False)

LinearRegression() 类的参数不多,通常几乎不需要设置。

  • fit_intercept:bool, default=True 是否计算截距。默认值 True,计算截距。
  • normalize:bool, default=False 是否进行数据标准化,该参数仅在 fit_intercept = True 时有效。
  • n_jobs:int, default=None 计算时设置的任务数,为 n>1和大规模问题提供加速。默认值 任务数为 1。

LinearRegression() 类的主要属性:

  • coef_: 线性系数,即模型参数 w1... 的估计值
  • intercept_: 截距,即模型参数 w0 的估计值

LinearRegression() 类的主要方法:

  • fit(X,y[,sample_weight]) 用样本集(X, y)训练模型。sample_weight 为每个样本设权重,默认None。
  • get_params([deep]) 获取模型参数。注意不是指模型回归系数,而是指fit_intercept,normalize等参数。
  • predict(X) 用训练的模型预测数据集 X 的输出。即可以对训练样本给出模型输出结果,也可以对测试样本给出预测结果。
  • score(X,y[,sample_weight]) R2 判定系数,是常用的模型评价指标。

3.2 一元线性回归

LinearRegression 使用例程:

# skl_LinearR_v1a.py
# Demo of linear regression by scikit-learn
# Copyright 2021 YouCans, XUPT
# Crated:2021-05-12
# -*- coding: utf-8 -*-
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.metrics import r2_score, mean_squared_error, mean_absolute_error, median_absolute_error
# 生成测试数据:
nSample = 100
x = np.linspace(0, 10, nSample) # 起点为 0,终点为 10,均分为 nSample个点
e = np.random.normal(size=len(x)) # 正态分布随机数
y = 2.36 + 1.58 * x + e # y = b0 + b1*x1
# 按照模型要求进行数据转换:输入是 array类型的 n*m 矩阵,输出是 array类型的 n*1 数组
x = x.reshape(-1, 1) # 输入转换为 n行 1列(多元回归则为多列)的二维数组
y = y.reshape(-1, 1) # 输出转换为 n行1列的二维数组
# print(x.shape,y.shape)
# 一元线性回归:最小二乘法(OLS)
modelRegL = LinearRegression() # 创建线性回归模型
modelRegL.fit(x, y) # 模型训练:数据拟合
yFit = modelRegL.predict(x) # 用回归模型来预测输出
# 输出回归结果 XUPT
print('回归截距: w0={}'.format(modelRegL.intercept_)) # w0: 截距
print('回归系数: w1={}'.format(modelRegL.coef_)) # w1,..wm: 回归系数
# 回归模型的评价指标 YouCans
print('R2 确定系数:{:.4f}'.format(modelRegL.score(x, y))) # R2 判定系数
print('均方误差:{:.4f}'.format(mean_squared_error(y, yFit))) # MSE 均方误差
print('平均绝对值误差:{:.4f}'.format(mean_absolute_error(y, yFit))) # MAE 平均绝对误差
print('中位绝对值误差:{:.4f}'.format(median_absolute_error(y, yFit))) # 中值绝对误差
# 绘图:原始数据点,拟合曲线
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 6))
ax.plot(x, y, 'o', label="data") # 原始数据
ax.plot(x, yFit, 'r-', label="OLS") # 拟合数据
ax.legend(loc='best') # 显示图例
plt.title('Linear regression by SKlearn (Youcans)')
plt.show() # YouCans, XUPT

程序说明:

  1. 线性回归模型 LinearRegression() 类在模型训练 modelRegL.fit(x, y) 时,要求输入 x 和输出 y 数据格式为 array类型的 n*m 矩阵。一元回归模型 m=1,也要转换为 n*1 的 array类型:
x = x.reshape(-1, 1) # 输入转换为 n行 1列(多元回归则为多列)的二维数组
y = y.reshape(-1, 1) # 输出转换为 n行1列的二维数组
  1. LinearRegression() 类提供的模型评价指标只有 R2指标,但在 sklearn.metrics 包中提供了均方误差、平均绝对值误差和中位绝对值误差,例程中给出了其使用方法。

程序运行结果:

回归截距: w0=[2.45152704]
回归系数: w1=[[1.57077698]]
R2 确定系数:0.9562
均方误差:0.9620
平均绝对值误差:0.7905
中位绝对值误差:0.6732

3.2 多元线性回归

用 LinearRegression() 解决多元线性回归问题与一元线性回归的步骤、参数和属性都是相同的,只是要注意样本数据的格式要求:输入数据 X 是 array 类型的 n*m 二维数组,输出数据 y 是 array类型的 n*1 数组(也可以用 n*k 表示多变量输出)。

问题描述:
数据文件 toothpaste.csv 中收集了 30个月牙膏销售量、价格、广告费用及同期的市场均价。
(1)分析牙膏销售量与价格、广告投入之间的关系,建立数学模型;
(2)估计所建立数学模型的参数,进行统计分析;
(3)利用拟合模型,预测在不同价格和广告费用下的牙膏销售量。
需要说明的是,本文例程并不是问题最佳的求解方法和结果,只是使用该问题及数据示范读取数据文件和数据处理的方法。

LinearRegression 使用例程:

# skl_LinearR_v1b.py
# Demo of linear regression by scikit-learn
# v1.0d: 线性回归模型(SKlearn)求解
# Copyright 2021 YouCans, XUPT
# Crated:2021-05-12
# -*- coding: utf-8 -*-
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import stats
from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.metrics import mean_squared_error, mean_absolute_error, median_absolute_error
# 主程序
def main(): # 主程序
# 读取数据文件
readPath = "../data/toothpaste.csv" # 数据文件的地址和文件名
dfOpenFile = pd.read_csv(readPath, header=0, sep=",") # 间隔符为逗号,首行为标题行
dfData = dfOpenFile.dropna() # 删除含有缺失值的数据
print(dfData.head())
# Model 1:Y = b0 + b1*X1 + b2*X2 + e
# 线性回归:分析因变量 Y(sales) 与 自变量 x1(diffrence)、x2(advertise) 的关系
# 按照模型要求进行数据转换:输入是 array类型的 n*m 矩阵,输出是 array类型的 n*1 数组
feature_cols = ['difference', 'advertise'] # 创建特征列表
X = dfData[feature_cols] # 使用列表选择样本数据的特征子集
y = dfData['sales'] # 选择样本数据的输出变量
# print(type(X),type(y))
# print(X.shape, y.shape)
# 一元线性回归:最小二乘法(OLS)
modelRegL = LinearRegression() # 创建线性回归模型
modelRegL.fit(X, y) # 模型训练:数据拟合
yFit = modelRegL.predict(X) # 用回归模型来预测输出
# 输出回归结果 # YouCans, XUPT
print("\nModel1: Y = b0 + b1*x1 + b2*x2")
print('回归截距: w0={}'.format(modelRegL.intercept_)) # w0: 截距
print('回归系数: w1={}'.format(modelRegL.coef_)) # w1,..wm: 回归系数
# 回归模型的评价指标
print('R2 确定系数:{:.4f}'.format(modelRegL.score(X, y))) # R2 判定系数
print('均方误差:{:.4f}'.format(mean_squared_error(y, yFit))) # MSE 均方误差
print('平均绝对值误差:{:.4f}'.format(mean_absolute_error(y, yFit))) # MAE 平均绝对误差
print('中位绝对值误差:{:.4f}'.format(median_absolute_error(y, yFit))) # 中值绝对误差
# Model 3:Y = b0 + b1*X1 + b2*X2 + b3*X2**2 + e
# 线性回归:分析因变量 Y(sales) 与 自变量 x1、x2 及 x2平方的关系
x1 = dfData['difference'] # 价格差,x4 = x1 - x2
x2 = dfData['advertise'] # 广告费
x5 = x2**2 # 广告费的二次元
X = np.column_stack((x1,x2,x5)) # [x1,x2,x2**2]
# 多元线性回归:最小二乘法(OLS)
modelRegM = LinearRegression() # 创建线性回归模型
modelRegM.fit(X, y) # 模型训练:数据拟合
yFit = modelRegM.predict(X) # 用回归模型来预测输出
# 输出回归结果 # YouCans, XUPT
print("\nModel3: Y = b0 + b1*x1 + b2*x2 + b3*x2**2")
print('回归截距: w0={}'.format(modelRegM.intercept_)) # w0: 截距, YouCans
print('回归系数: w1={}'.format(modelRegM.coef_)) # w1,..wm: 回归系数, XUPT
# 回归模型的评价指标
print('R2 确定系数:{:.4f}'.format(modelRegM.score(X, y))) # R2 判定系数
print('均方误差:{:.4f}'.format(mean_squared_error(y, yFit))) # MSE 均方误差
print('平均绝对值误差:{:.4f}'.format(mean_absolute_error(y, yFit))) # MAE 平均绝对误差
print('中位绝对值误差:{:.4f}'.format(median_absolute_error(y, yFit))) # 中值绝对误差
# 计算 F统计量 和 F检验的 P值
m = X.shape[1]
n = X.shape[0]
yMean = np.mean(y)
SST = sum((y-yMean)**2) # SST: 总平方和
SSR = sum((yFit-yMean)**2) # SSR: 回归平方和
SSE = sum((y-yFit)**2) # SSE: 残差平方和
Fstats = (SSR/m) / (SSE/(n-m-1)) # F 统计量
probFstats = stats.f.sf(Fstats, m, n-m-1) # F检验的 P值
print('F统计量:{:.4f}'.format(Fstats))
print('FF检验的P值:{:.4e}'.format(probFstats))
# 绘图:原始数据点,拟合曲线
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 6)) # YouCans, XUPT
ax.plot(range(len(y)), y, 'b-.', label='Sample') # 样本数据
ax.plot(range(len(y)), yFit, 'r-', label='Fitting') # 拟合数据
ax.legend(loc='best') # 显示图例
plt.title('Regression analysis with sales of toothpaste by SKlearn')
plt.xlabel('period')
plt.ylabel('sales')
plt.show()
return
if __name__ == '__main__':
main()

程序运行结果:

Model1: Y = b0 + b1*x1 + b2*x2
回归截距: w0=4.4074933246887875
回归系数: w1=[1.58828573 0.56348229]
R2 确定系数:0.8860
均方误差:0.0511
平均绝对值误差:0.1676
中位绝对值误差:0.1187
Model3: Y = b0 + b1*x1 + b2*x2 + b3*x2**2
回归截距: w0=17.324368548878198
回归系数: w1=[ 1.30698873 -3.69558671 0.34861167]
R2 确定系数:0.9054
均方误差:0.0424
平均绝对值误差:0.1733
中位绝对值误差:0.1570
F统计量:82.9409
F检验的P值:1.9438e-13

程序说明:

  1. 用 LinearRegression() 类处理多元线性回归问题,模型对训练样本数据的格式要求为:输入数据 X 是 array 类型的 n*m 二维数组,输出数据 y 是 array类型的 n*1 数组(也可以用 n*k 表示多变量输出)。例程中给出了两种数据转换的方式:Model 1 从 Pandas 的 dataframe 数据转换得到模型要求的 array 类型二维数组,这在 Pandas 读取数据文件时非常方便;Model3 则用 Numpy 的 np.column_stack 数组拼接获得 array 类型二维数组。
  2. 本例程的问题和数据《Python学习笔记-StatsModels 统计回归(3)模型数据的准备》中相同,来自:姜启源、谢金星《数学模型(第 3版)》,高等教育出版社。
  3. 为了便于与 StatsModels 统计回归结果进行比较,例程所采用的模型也与该文一致:Model1 中使用特征变量 'difference', 'advertise' 建立线性回归模型,Model3 中使用特征变量 'difference', 'advertise' 及 'advertise' 的二次项( x2**2)建立线性回归模型。SKlearn 与 StatsModels 对这两个模型的参数估计结果、预测结果和 R2确定系数都完全相同,表明用 SKlearn 与 StatsModels 工具包都可以实现线性回归。
  4. StatsModels 工具包提供的模型检验的指标非常全面、详细,对模型检验和统计分析非常重要。而 SKlearn 包所提供的统计检验指标很少,F检验、T 检验、相关系数的显著性检验指标都没有,根本原因在于 SKlearn 是机器学习库而非统计工具箱,关注点是模型精度和预测性能,而不在于模型的显著性。
  5. 为了解决缺少模型显著性检验指标的问题,例程中增加了一段 计算 F统计量 和 F检验P值 的程序可供参考。

版权说明:
本文内容及例程为作者原创,并非转载书籍或网络内容。
YouCans 原创作品
Copyright 2021 YouCans, XUPT
Crated:2021-05-12

版权声明
本文为[youcans]所创,转载请带上原文链接,感谢
https://www.cnblogs.com/youcans/p/14764269.html

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