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博弈论读书笔记(六)博弈扩展式的介绍和静态贝叶斯博弈

halaya 2020-02-08 16:45:00 阅读数:59 评论数:0 点赞数:0 收藏数:0

2.4博弈扩展式的介绍

博弈扩展式是对我们之前博弈标准式的一种扩充,将会从以下几个方面介绍:

  1. 扩展式图示的举例
  2. 扩展式信息集的概念
  3. 扩展式子博弈的概念

如图所示表示一个博弈的一个例子

博弈树始于参与者1的一个决策节,这时参与者1要做出一个选择,根据参与者1做出的选择,博弈会进行到不同的分支。最终博弈会达到终点节,且参与者获得对应终点节的收益。

关于信息集的概念

如图所示,是一个囚徒困境的博弈扩展式,虚线代表以上是一个信息集。简单来说,虚线下面的人不知道虚线以上的信息。

 

 

之后说并扩展式子博弈的概念。

定义:

  1. 始于单节信息集的决策节点(即没有虚线相连的节点)n(不包括第一个节点)
  2. 包含博弈树n之下所有决策节和终点节
  3. 没有对任何信息集形成分割(即如果n下面有一个n2节点,则和n2在同一信息集的其他决策节点必须在n之下)

给出两个例子

如下图,有两个子博弈

 

 

关于第三点这里举个例子,对于下图,只有一个子博弈,因为在2的下面两个分支将两边的三个节点放于一个信息集中,所以2的右边分支不能成为子博弈。

 

 

第三章 非完全信息静态博弈

之前两章都讲的是完美信息博弈,也就是双方知道对方收益函数的博弈情况,从这章开始会讨论非完全信息的博弈也叫贝叶斯博弈,这一章主要讨论非完全信息的静态博弈,下一章讨论非完全信息的动态博弈。

其实这两章的最核心的东西其实就是在前两章的情况下加入了关于概率之类的东西,所以理解起来可以参考前面的方法。当然随着这两章的学习,我们将对前面的概念和博弈进行完善和扩展,但都不是什么难以理解的东西。在后两章的学习中,我会减少对公式的推导而更多的是阐述其思路,一是因为公式太多太难打……

,二是一些公式很容易推导,并且就我来说,比较偏工科,所以学习博弈论的目的并不注重于公式的过程,而更看重其解决问题的思路以及实际作用上。

 

下面先来总结一下这一章的内容:

这一章主要讨论贝叶斯博弈,会有一个简单例子——非对称信息下的古诺竞争。

然后我们会对混合战略的概念进行延申,并且证明贝叶斯纳什均衡当所有非对称信息趋于0的时候,就变成了第一章所讨论的静态完全信息的纳什均衡。

再到后面我们会举一个拍卖的例子(当然,你会看到在非完全信息的博弈中,拍卖会很经常出现)

到最后,我们会给出并解释显示原理,这个将用于博弈设计方面。

 

3.1.a静态贝叶斯博弈和贝叶斯纳什均衡

       我们先考虑一个非对称信息下的古诺竞争。

与第一章的古诺竞争相同,不过这里我们改变企业2的成本:企业2的成本有θ的概率是cH,有1-θ的概率是cL,这里cH>cL。当然,企业2是知道自己的成本是cL还是cH的,这里θ是对于企业1对企业2的的预测而言的。也就是在这场博弈中,企业2是占信息优势的:他知道自己的成本和企业1的成本,而企业一只能对企业2的成本做预测,并且企业2是知道企业1预测自己高成本的概率θ的,并且以上都是共同知识:企业1知道企业2占有信息优势,企业2知道企业1 知道自己占有信息优势等等。

 

那么很容易得到,对于企业2来说当取从cH时,q2*(cH)取值为:

 

 

对于企业2来说当取从cH时,q2*(cL)取值为:

 

 

类似的,我们可以得到企业1的q1*

解方程得:

 

 

这就是非对称信息下古诺竞争的贝叶斯纳什均衡。很容易理解,这里企业2会根据自己的成本高低选择产出,同时,也会考虑企业1的最优反应,本质其实和第一章中所说的思想是相同的。

 

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