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梯度下降法原理与python实现

ZingpLiu 2019-02-13 17:15:00 阅读数:152 评论数:0 点赞数:0 收藏数:0

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  • 梯度下降法(Gradient descent)是一个一阶最优化算法,通常也称为最速下降法。 要使用梯度下降法找到一个函数的局部极小值,必须向函数上当前点对应梯度(或者是近似梯度)的反方向的规定步长距离点进行迭代搜索。如果相反地向梯度正方向迭代进行搜索,则会接近函数的局部极大值点;这个过程则被称为梯度上升法
  • 本文将从最优化问题谈起,回顾导数与梯度的概念,引出梯度下降的数据推导;概括三种梯度下降方法的优缺点,并用Python实现梯度下降(附源码)。

1 最优化问题

  • 最优化问题是求解函数极值的问题,包括极大值和极小值。
  • 微积分为我们求函数的极值提供了一个统一的思路:找函数的导数等于0的点,因为在极值点处,导数必定为0。这样,只要函数的可导的,我们就可以用这个万能的方法解决问题,幸运的是,在实际应用中我们遇到的函数基本上都是可导的。
  • 机器学习之类的实际应用中,我们一般将最优化问题统一表述为求解函数的极小值问题,即:
    \[ min_xf(x) \]
  • 其中\(x\)称为优化变量,\(f\)称为目标函数。极大值问题可以转换成极小值问题来求解,只需要将目标函数加上负号即可:
    \[min_x{-f(x)}\]

2 导数与梯度

  • 梯度是多元函数对各个自变量偏导数形成的向量。多元函数的梯度表示:
    \[\nabla f(x) = \left( \frac{\partial f}{\partial x_1},...,\frac{\partial f}{\partial x_n} \right)^T \]

  • 如果Hessian矩阵正定,函数有极小值;如果Hessian矩阵负定,函数有极大值;如果Hessian矩阵不定,则需要进一步讨论。

  • 如果二阶导数大于0,函数有极小值;如果二阶导数小于0,函数有极大值;如果二阶导数等于0,情况不定。

问题:为何不直接求导,令导数等于零去求解?

  • 直接求函数的导数,有的函数的导数方程组很难求解,比如下面的方程:
    \[ f(x,y) = x^5 + e^{x}{y}- y^3 + 10y^2 - 100\sin(xy)-2x^2 \]

3 梯度下降的推导过程

  • 回顾一下泰勒展开式
    \[ f(x) = \frac{f(x_0)}{0!} + \frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + ... + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + R_n(x) \]
  • 多元函数\(f(x)\)在x处的泰勒展开:
    \[ f(x + \Delta x) = f(x) + f'(x)\Delta x + \frac{1}{2}f''(x) \Delta x^2 + ...\]

3.1 数学推导

目标是求多元函数\(f(x)\)的极小值梯度下降法是通过不断迭代得到函数极小值,即如能保证\(f(x +\Delta x)\)\(f(x)\)小,则不断迭代,最终能得到极小值。想象你在山顶往山脚走,如果每一步到的位置比之前的位置低,就能走到山脚。问题是像哪个方向走,能最快到山脚呢?
由泰勒展开式得:
\[f(x + \Delta x) - f(x) = (\nabla f(x))^T \Delta x + o(\Delta x) \]
如果\(\Delta x\)足够小,可以忽略\(o(\Delta x)\),则有:
\[f(x + \Delta x) - f(x) \approx (\nabla f(x))^T \Delta x\]
于是只有:
\[(\nabla f(x))^T \Delta x < 0 \]
能使
\[ f(x + \Delta x) < f(x) \]
因为\(\nabla f(x)\)\(\Delta x\)均为向量,于是有:
\[ (\nabla f(x))^T \Delta x = \| \nabla f(x)\|\|\Delta x\|cos\theta\]
其中,\(\theta\)是向量\(\nabla f(x)\)\(\Delta x\)的夹角,\(\| \nabla f(x)\|\)\(\|\Delta x\|\)是向量对应的模。可见只有当
\[cos\theta < 0\]
才能使得
\[ (\nabla f(x))^T \Delta x < 0 \]
又因
\[ cos\theta \ge -1 \]
可见,只有当
\[cos\theta = -1\]
\(\theta = \pi\)时,函数数值降低最快。此时梯度和\(\Delta x\)反向,即夹角为180度。因此当向量\(\Delta x\)的模大小一定时,取
\[\Delta x = -\alpha \nabla f(x)\]
即在梯度相反的方向函数值下降的最快。此时函数的下降值为:
\[ (\nabla f(x))^T \Delta x = -\| \nabla f(x)\|\|\Delta x\| = - \alpha \| \nabla f(x)\|^2 \]
只要梯度不为\(0\),往梯度的反方向走函数值一定是下降的。直接用可能会有问题,因为\(x+\Delta x\)可能会超出\(x\)的邻域范围之外,此时是不能忽略泰勒展开中的二次及以上的项的,因此步伐不能太大。
一般设:
\[\Delta x = -\alpha \nabla f(x)\]
其中\(\alpha\)为一个接近于\(0\)的正数,称为步长,由人工设定,用于保证\(x+\Delta x\)在x的邻域内,从而可以忽略泰勒展开中二次及更高的项,则有:
\[ (\nabla f(x))^T \Delta x = -\| \nabla f(x)\|\|\Delta x\| = - \alpha \| \nabla f(x)\|^2 < 0 \]
此时,\(x\)的迭代公式是:
\[x_{k+1} = x_k - \alpha \nabla f(x_k)\]
只要没有到达梯度为\(0\)的点,则函数值会沿着序列\(x_{k}\)递减,最终会收敛到梯度为\(0\)的点,这就是梯度下降法。
迭代终止的条件是函数的梯度值为\(0\)(实际实现时是接近于\(0\),此时认为已经达到极值点。注意我们找到的是梯度为\(0\)的点,这不一定就是极值点,后面会说明。

4 实现的细节

  • 初始值的设定
    一般的,对于不带约束条件的优化问题,我们可以将初始值设置为0,或者设置为随机数,对于神经网络的训练,一般设置为随机数,这对算法的收敛至关重要。

  • 学习率的设定
    学习率设置为多少,也是实现时需要考虑的问题。最简单的,我们可以将学习率设置为一个很小的正数,如0.001。另外,可以采用更复杂的策略,在迭代的过程中动态的调整学习率的值。比如前1万次迭代为0.001,接下来1万次迭代时设置为0.0001。

5 存在的问题

  • 局部极小值
    • 梯度下降可能在局部最小的点收敛。
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  • 鞍点
    • 鞍点是指梯度为0,Hessian矩阵既不是正定也不是负定,即不定的点。如函数\(x^2-y^2\)\((0,0)\)点梯度为0,但显然不是局部最小的点,也不是全局最小的点。
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6 三种梯度下降的实现

  • 批量梯度下降法:Batch Gradient Descent,简称BGD。求解梯度的过程中用了全量数据。
    • 全局最优解;易于并行实现。
    • 计算代价大,数据量大时,训练过程慢。
  • 随机梯度下降法:Stochastic Gradient Descent,简称SGD。依次选择单个样本计算梯度。
    • 优点:训练速度快;
    • 缺点:准确度下降,并不是全局最优;不易于并行实现。
  • 小批量梯度下降法:Mini-batch Gradient Descent,简称MBGD。每次更新参数时使用b个样本。(b一般为10)。
    • 两种方法的性能之间取得一个折中。

7 用梯度下降法求解多项式极值

7.1 题目

\(argmin\frac{1}{2}[(x_{1}+x_{2}-4)^2 + (2x_{1}+3x_{2}-7)^2 + (4x_{1}+x_{2}-9)^2]\)

7.2 python解题

以下只是为了演示计算过程,便于理解梯度下降,代码仅供参考。更好的代码我将在以后的文章中给出。

# 原函数
def argminf(x1, x2):
r = ((x1+x2-4)**2 + (2*x1+3*x2 - 7)**2 + (4*x1+x2-9)**2)*0.5
return r
# 全量计算一阶偏导的值
def deriv_x(x1, x2):
r1 = (x1+x2-4) + (2*x1+3*x2-7)*2 + (4*x1+x2-9)*4
r2 = (x1+x2-4) + (2*x1+3*x2-7)*3 + (4*x1+x2-9)
return r1, r2
# 梯度下降算法
def gradient_decs(n):
alpha = 0.01 # 学习率
x1, x2 = 0, 0 # 初始值
y1 = argminf(x1, x2)
for i in range(n):
deriv1, deriv2 = deriv_x(x1, x2)
x1 = x1 - alpha * deriv1
x2 = x2 - alpha * deriv2
y2 = argminf(x1, x2)
if y1 - y2 < 1e-6:
return x1, x2, y2
if y2 < y1:
y1 = y2
return x1, x2, y2
# 迭代1000次结果
gradient_decs(1000)
# (1.9987027392533656, 1.092923742270406, 0.4545566995437954)

参考文献

版权声明
本文为[ZingpLiu]所创,转载请带上原文链接,感谢
https://www.cnblogs.com/zingp/p/10278223.html

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